Geometriska kuber. Vad är en kubediagonal, och hur man hittar den

Eller en hexahedron) är en tredimensionell figur, varje ansikte är en torg där, som vi vet, alla sidor är lika. Kubens diagonal är ett segment som passerar genom mitten av figuren och förbinder symmetriska hörn. I en vanlig hexahedron finns 4 diagonaler, och alla kommer att vara lika. Det är väldigt viktigt att inte förvirra diagonalen i figuren själv med diagonalen i ansiktet eller torget, som ligger vid dess bas. Kubens diagonala ansikte passerar genom mitten av ansiktet och förbinder torgets motsatta vinklar.

Formel för att hitta kubediagonalen

Diagonalen hos en vanlig polyeder kan hittas med en mycket enkel formel som behöver komma ihåg. D = a√3, där D är kubens diagonala och är kanten. Vi ger ett exempel på ett problem där det är nödvändigt att hitta en diagonal, om det är känt att längden på kanten är 2 cm. Här är allt bara D = 2√3, även om ingenting behöver övervägas. I det andra exemplet, låt kubens kant vara √3 cm, då får vi D = √3√3 = √9 = 3. Svar: D är 3 cm.

Formeln genom vilken du kan hitta diagonalen på kubans ansikte

Diago Du kan också hitta ett ansikte med formeln. Diagonalerna som ligger på kanterna är bara 12 stycken, och de är alla lika. Nu kommer vi ihåg d = a√2, där d är kvadratens diagonala, och är också kanten av kuben eller sidan av torget. Förstå var denna formel kom ifrån är mycket enkel. När allt kommer omkring, är de två sidorna av torget och diagonalformen. I denna trio spelar diagonalen rollen som hypotenusen, och sidorna på torget är benen, som har samma längd. Minns den pythagoranska stolen, och allt kommer omedelbart att falla på plats. Nu uppgiften: kanten av hexahedronen är √8 cm, det är nödvändigt att hitta diagonalen i ansiktet. Vi sätter in i formeln, och vi får d = √8 √2 = √16 = 4. Svar: Cube-ansikts diagonal är 4 cm.

Om kubens diagonala ansikte är känt

Med problemets tillstånd ges vi endast diagonalen i ansiktet på en vanlig polyeder, det vill säga √2 cm, och vi måste hitta kubens diagonala. Formeln för att lösa detta problem är lite mer komplicerad än den tidigare. Om vi ​​vet d, kan vi hitta kubens kant, baserat på vår andra formel d = a√2. Vi får a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (detta är vår kant). Och om denna kvantitet är känd är det lätt att hitta kubdiagonalen: D = 1√3 = √3. Så har vi löst vårt problem.

Om ytan är känd

Följande lösningsalgoritm är baserad på att hitta diagonalen med antagandet att den är lika med 72 cm 2. Till att börja med kommer vi att hitta området i ett ansikte, och det finns totalt sex av dem. Så, 72 måste delas med 6, vi får 12 cm 2. Detta är området för en fasett. För att hitta kanten på en vanlig polyeder är det nödvändigt att återkalla formeln S = a 2, vilket betyder a = √S. Suppleant och vi får a = √12 (kanten av kanten). Och om vi vet detta värde, är diagonalen inte svår att hitta D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. Svaret: kubediagonalen är 6 cm 2.

Om kubkanternas längd är känd

Det finns fall där problemet endast ges längden på alla kanter på kuben. Då är det nödvändigt att dividera detta värde med 12. Det är antalet sidor i rätt polyhedron. Till exempel, om summan av alla kanter är 40, blir en sida lika med 40/12 = 3,333. Vi sätter in i vår första formel och får svaret!

I vilken du behöver hitta kanten av kuben. Detta är definitionen av längden på en kubkant vid området av kubens yta, av kubens volym, genom diagonalen av kubens yta och av kubens diagonal. Tänk på alla fyra alternativen för sådana uppgifter. (De återstående uppgifterna är i regel varianter av ovanstående eller uppgifter i trigonometri, vilka är mycket indirekt relaterade till det aktuella problemet)

Om du känner till ett kubans ansikte är det enkelt att hitta en kubkant. Eftersom kubens ansikte är en fyrkant med en sida som är lika med kubens kant är dess yta lika med kubens kant. Därför är kubens kant lika med kvadratroten av dess yta, det vill säga:

och - längden på kubens kant,

S är kubans yta.

Att hitta en kubas ansikte i volymen är ännu enklare. Med tanke på att kubens volym är lika med kuben (i den tredje graden) av kubens kantlängd, får vi att längden på kubens kant är lika med kubikens (tredje graders) roten av dess volym, dvs:

och - längden på kubens kant,

V är kubens volym.

Att hitta längden på en kubkant längs kända diagonala längder är lite svårare. Anmäl av:

och - kubens kant längd

b är kubans yta diagonal längd;

c - kubens diagonala längd.

Som framgår av figuren bildar diagonalen i ansiktet och kubens kanter en rektangulär liksidig triangel. Därför, genom Pythagoras teorem:

Härifrån finner vi:

(för att hitta kanten av kuben du behöver extrahera kvadratroten från halva torget av diagonalen i ansiktet).

För att hitta kanten av kuben längs diagonalen använder vi mönstret igen. Kubens diagonal (c), diagonalen i ansiktet (b) och kubens kant (a) bildar en högra triangel. Så enligt Pythagoras teorem:

Vi använder ovanstående relation mellan a och b och ersätter i formeln

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Vi får:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, varifrån vi hittar:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, därför:

En kub är en rektangulär parallellpipad, vars kanter är lika. Därför förenklas den allmänna formeln för volymen av en rektangulär parallellpiped och formeln för dess yta i fallet med en kub . Även kubens volym och dess yta kan hittas, med kännedom om bollens volym som är inskriven i den eller bollen som beskrivs runt den.

Du behöver

• längden på kubens sida, raden på den inskriven och beskrivna bollen

instruktion

Volymen av en rektangulär parallellpiped är: V = abc - där a, b, c är dess dimensioner. Därför är kubens volym lika med V = a * a * a = a ^ 3, där a är längden på kubens sida . Kubens yta är lika med summan av områdena på alla dess ytor. Kuben har sex ansikten, så dess yta är S = 6 * (a ^ 2).

Låt bollen passa in i kuben. Uppenbarligen kommer diametern för denna boll att vara lika med kubens sida . Att ersätta diameterns längd i uttrycket för volymen istället för kubkanten och med att diametern är lika med två gånger radien får vi då V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), där d är diametern för den inskrivna cirkeln och r är raden av den inskrivna cirkeln. Cubens yta är då S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

Låt bollen beskrivas runt en kub . Därefter sammanfaller dess diameter med kubens diagonal. Kubens diagonal passerar genom kubens mitt och förbinder de två motsatta punkterna.
Tänk på den första av kubens ansikten. Kanten på denna fasett är benen av en rätt triangel, där diagonalen i ansikte d kommer att bli en hypotenus. Därefter erhåller vi genom Pythagoras teorem: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Tänk då på triangeln där hypotenusen är diagonal i kuben , och diagonalen i ansiktet d och en av kanterna på kuben a är dess ben. På samma sätt får vi genom Pythagoras teorem: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Så, enligt den härledda formeln, är kubens diagonala D = a * sqrt (3). Därför a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Därför är V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), där R är den beskrivna bollens radie. Kubens yta är S = 6 * (D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

Ofta finns det uppgifter där du behöver hitta kanten på en kub, ofta bör detta ske på grundval av information om dess volym, fasettområde eller diagonal. Det finns flera alternativ för att definiera en kubkant.

I det fallet, om kubens område är känt, kan kanten lätt bestämmas. Kubens ansikte är en fyrkant med en sida som är lika med kubens kant. Följaktligen är dess område lika med kubens kvadratkant. Du bör använda formeln: a = √S, där a är längden på kubens kant och S är ytan på kubens yta. Att hitta en kubkant med sin volym är en ännu enklare uppgift. Det är nödvändigt att ta hänsyn till att kubens volym motsvarar kuben (i tredje graden) längden på kubens kant. Det visar sig att längden på kanten är lika med kubens rot av dess volym. Det vill säga, vi får följande formel: a = √V, där a är längden på kubens kant, och V är kubens volym.

Diagonalt kan du också hitta kanten av kuben. Följaktligen behöver vi: a - längden på kubens kant, b - längden på diagonalen i kubens ansikte, c - längden på kubens diagonal. Med Pythagoras teorem får vi: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, och här kan du enkelt härleda följande formel: a = √ (b ^ 2/2), som extraherar kubens kant.

Återigen, med hjälp av Pythagoreas teorem (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2) kan vi få följande förhållande: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, från vilket vi härleder: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, därför kan kubens kant erhållas enligt följande: a = √ (c ^ 2/3).